实施说明 — SVG 2

以下说明描述了软件开发人员在将内容转换为SVG语言特性所需格式时可以使用的算法和其他策略。

B.2. 椭圆弧参数转换

为了与其他路径段符号保持一致，SVG路径中的弧是根据曲线上的起始点和终止点定义的。

这种椭圆弧的参数化将被称为端点参数化。端点参数化的一个优点是它允许所有路径命令以新“当前点”的坐标结束，从而实现一致的路径语法。

然而，这并不是描述软件或数学中弧几何的唯一方法。本节描述了替代的中心参数化，以及如何从SVG的端点参数化转换到该参数化。

B.2.1. 椭圆弧端点语法

椭圆弧在SVG路径命令中由以下参数按顺序描述：

(x₁, y₁) 是路径上当前点的绝对坐标，来自上一个路径命令的最后两个参数。

r_x和r_y是椭圆的半径（也称为其半长轴和半短轴）。

φ是当前坐标系的x轴与椭圆的x轴之间的角度。

f_A是大弧标志，如果选择的弧跨度小于或等于180度则为0，选择的弧跨度大于180度则为1。

f_S是扫掠标志，如果连接中心到弧的线通过递减角度扫掠则为0，如果通过递增角度扫掠则为1。

(x₂, y₂)是弧的最终点的绝对坐标。

B.2.2. 参数化替代方案

椭圆弧上的任意点(x, y)可以通过二维矩阵方程描述：

(eq. 3.1)

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos φ & - \sin φ \\ \sin φ & \cos φ \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} r_{x} \cos θ \\ r_{y} \sin θ \end{matrix}) + (\begin{matrix} c_{x} \\ c_{y} \end{matrix})

    x = rx*cos(θ)*cos(φ) - ry*sin(θ)*sin(φ) + cx
    y = rx*cos(θ)*sin(φ) + ry*sin(θ)*cos(φ) + cy

(c_x, c_y) 是椭圆中心的坐标。

r_x 和 r_y 是椭圆的半径（也称为其半长轴和半短轴）。

φ 是当前坐标系的x轴与椭圆的x轴之间的角度。

θ 是点 (x, y) 所在的弧的角度，范围为：

θ₁ 是椭圆弧在拉伸和旋转操作之前的起始角度。
θ₂ 是椭圆弧在拉伸和旋转操作之前的结束角度。
Δθ 是这两个角度之间的差值。

如果将椭圆视为经过拉伸和旋转的圆，则 θ₁、θ₂ 和 Δθ 分别是弧在拉伸和旋转操作之前的起始角度、结束角度和扫掠角度。这导致了一种在图形API中常见的替代参数化，将被称为中心参数化。在接下来的章节中，将给出中心参数化和端点参数化之间双向映射的公式。

B.2.3. 从中心到端点参数化的转换

给定以下变量：

c_x c_y r_x r_y φ θ₁ Δθ

任务是找到：

x₁ y₁ x₂ y₂ f_A f_S

这可以通过以下公式实现：

$(\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} r_{x} cos θ_{1} \\ r_{y} sin θ_{1} \end{matrix}) + (\begin{matrix} c_{x} \\ c_{y} \end{matrix})$	(eq. 4.1)
$(\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} r_{x} cos (θ_{1} + Δ θ) \\ r_{y} sin (θ_{1} + Δ θ) \end{matrix}) + (\begin{matrix} c_{x} \\ c_{y} \end{matrix})$	(eq. 4.2)
$f_{A} = \{\begin{matrix} 1 if \|Δ θ\| > 180 ° \\ 0 if \|Δ θ\| \leq 180 ° \end{matrix}$	(eq. 4.3)
$f_{S} = \{\begin{matrix} 1 if Δ θ > 0 ° \\ 0 if Δ θ < 0 ° \end{matrix}$	(eq. 4.4)

B.2.4. 从端点到中心参数化的转换

给定以下变量：

x₁ y₁ x₂ y₂ f_A f_S r_x r_y φ

任务是找到：

c_x c_y θ₁ Δθ

方程在将原点放置在连接 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的线段的中点之后会简化，接着进行旋转以使坐标轴与椭圆的轴对齐。所有变换后的坐标将用撇号表示。它们作为中间值被计算，以找到所需的中心参数化变量。该过程包括以下步骤：

步骤 1：计算 (x₁′, y₁′)

(\begin{matrix} {x_{1}}^{'} \\ {y_{1}}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} cos φ & sin φ \\ - sin φ & cos φ \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \frac{x_{1} - x_{2}}{2} \\ \frac{y_{1} - y_{2}}{2} \end{matrix})

(eq. 5.1)

步骤 2：计算 (c_x′, c_y′)

(\begin{matrix} {c_{x}}^{'} \\ {c_{y}}^{'} \end{matrix}) = \pm \sqrt{\frac{{r_{x}}^{2} {r_{y}}^{2} - {r_{x}}^{2} {({y_{1}}^{'})}^{2} - {r_{y}}^{2} {({x_{1}}^{'})}^{2}}{{r_{x}}^{2} {({y_{1}}^{'})}^{2} + {r_{y}}^{2} {({x_{1}}^{'})}^{2}}} (\begin{matrix} \frac{r_{x} {y_{1}}^{'}}{r_{y}} \\ - \frac{r_{y} {x_{1}}^{'}}{r_{x}} \end{matrix})

(eq. 5.2)

当 f_A ≠ f_S 时选择 + 符号，如果 f_A = f_S 时选择 − 符号。

步骤 3：计算 (c_x, c_y) 从 (c_x′, c_y′)

(\begin{matrix} c_{x} \\ c_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} {c_{x}}^{'} \\ {c_{y}}^{'} \end{matrix}) + (\begin{matrix} \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \\ \frac{y_{1} + y_{2}}{2} \end{matrix})

(eq. 5.3)

步骤 4：计算 θ₁ 和 Δθ

一般来说，两个向量 (u_x, u_y) 和 (v_x, v_y) 之间的角度可以计算为

∠ (\begin{matrix} \overset{⇀}{u} & , & \overset{⇀}{v} \end{matrix}) = \pm arccos (\frac{\overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v}}{‖\overset{⇀}{u}‖ ‖\overset{⇀}{v}‖})

(eq. 5.4)

这里出现的 ± 符号是 u_x v_y − u_y v_x 的符号。

这个角度函数可以用来表示 θ₁ 和 Δθ 如下：

$θ_{1} = ∠ (\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) & , & (\begin{matrix} \frac{{x_{1}}^{'} - {c_{x}}^{'}}{r_{x}} \\ \frac{{y_{1}}^{'} - {c_{y}}^{'}}{r_{y}} \end{matrix}) \end{matrix})$	(eq. 5.5)
$Δ θ \equiv ∠ (\begin{matrix} (\begin{matrix} \frac{{x_{1}}^{'} - {c_{x}}^{'}}{r_{x}} \\ \frac{{y_{1}}^{'} - {c_{y}}^{'}}{r_{y}} \end{matrix}) & , & (\begin{matrix} \frac{{- x_{1}}^{'} - {c_{x}}^{'}}{r_{x}} \\ \frac{{- y_{1}}^{'} - {c_{y}}^{'}}{r_{y}} \end{matrix}) \end{matrix}) mod 360 °$	(eq. 5.6)

其中 Δθ 固定在范围内 −360° < Δθ < 360°，使得：

如果 f_S = 0，则 Δθ < 0，

否则如果 f_S = 1，则 Δθ > 0。

换句话说，如果 f_S = 0 并且 (eq. 5.6) 的右侧大于 0，则减去 360°，而如果 f_S = 1 并且 (eq. 5.6) 的右侧小于 0，则加上 360°。在所有其他情况下保持不变。

B.2.5. Correction of out-of-range radii

本节描述了对超出范围的 r_x 和 r_y 进行数学调整的必要性，如路径实现说明中所述。算法上，这些调整包括以下步骤：

步骤 1：确保半径非零

如果 r_x = 0 或 r_y = 0，则将其视为从 (x₁, y₁) 到 (x₂, y₂) 的直线，并停止。否则，

步骤 2：确保半径为正

取 r_x 和 r_y 的绝对值：

\begin{array}{l} r_{y} \leftarrow |r_{y}| \\ r_{y} \leftarrow |r_{y}| \end{array}

(eq. 6.1)

步骤 3：确保半径足够大

使用方程 (eq. 5.1) 的带撇号的坐标值，计算

Λ = \frac{{({x_{1}}^{'})}^{2}}{{r_{x}}^{2}} + \frac{{({y_{1}}^{'})}^{2}}{{r_{y}}^{2}}

(eq. 6.2)

如果上述方程的结果小于或等于 1，则无需对 r_x 和 r_y 进行进一步更改。如果上述方程的结果大于 1，则进行替换

\begin{array}{l} r_{x} \leftarrow \sqrt{Λ} r_{x} \\ r_{y} \leftarrow \sqrt{Λ} r_{y} \end{array}

(eq. 6.3)

步骤 4：继续进行计算

继续进行剩余的椭圆弧计算，例如从端点到中心参数化的转换算法。注意：由于本节中的半径修正，方程 (5.2) 对于椭圆的中心总是至少有一个解（即根数从不为负）。如果使用方程 (eq. 6.3) 扩大半径，则 (eq. 5.2) 的根数为零，椭圆的中心恰好有一个解。

B.3. 高精度几何生成说明

通过利用生成 CTM 时必须使用至少双精度浮点数的事实，可以获得有效精度高于单精度的表现（请参见符合标准的 SVG 查看器部分中的 CTM 生成处理）。生成内容的步骤如下：

附录 B: 实施说明

B.1. 引言